まず、新しいストレージをマウントします。
このストレージを追加領域とします。
ここでは 4G のストレージをマウントしました。

ストレージが正しく認識されているかを確認。

root@ubuntu:~# fdisk -l

Disk /dev/sda: 8 GiB, 8589934592 bytes, 16777216 sectors
Units: sectors of 1 * 512 = 512 bytes
Sector size (logical/physical): 512 bytes / 512 bytes
I/O size (minimum/optimal): 512 bytes / 512 bytes
Disklabel type: dos
Disk identifier: 0x215159d6

Device     Boot  Start      End  Sectors  Size Id Type
/dev/sda1  *      2048   499711   497664  243M 83 Linux
/dev/sda2       501758 16775167 16273410  7.8G  5 Extended
/dev/sda5       501760 16775167 16273408  7.8G 8e Linux LVM

Disk /dev/sdb: 4 GiB, 4294967296 bytes, 8388608 sectors
Units: sectors of 1 * 512 = 512 bytes
Sector size (logical/physical): 512 bytes / 512 bytes
I/O size (minimum/optimal): 512 bytes / 512 bytes
Disk /dev/mapper/ubuntu--vg-root: 5.7 GiB, 6148849664 bytes, 12009472 sectors
Units: sectors of 1 * 512 = 512 bytes
Sector size (logical/physical): 512 bytes / 512 bytes
I/O size (minimum/optimal): 512 bytes / 512 bytes
Disk /dev/mapper/ubuntu--vg-swap_1: 2 GiB, 2143289344 bytes, 4186112 sectors
Units: sectors of 1 * 512 = 512 bytes
Sector size (logical/physical): 512 bytes / 512 bytes
I/O size (minimum/optimal): 512 bytes / 512 bytes
root@ubuntu:~#

/dev/sdb: 4 GiB　として認識されているようです。
これを 使うために PV を作成します。

# 現在のPVを確認します
# インストール時に作成されたPVしかないことを確認。
root@ubuntu:~# pvscan
  PV /dev/sda5   VG ubuntu-vg   lvm2 [7.76 GiB / 36.00 MiB free]
  Total: 1 [7.76 GiB] / in use: 1 [7.76 GiB] / in no VG: 0 [0   ]

# 新しくマウントしたデバイスでPVを作ります。
root@ubuntu:~# pvcreate /dev/sdb
  Physical volume "/dev/sdb" successfully created

# PV が増えていることを確認します。
root@ubuntu:~# pvscan
  PV /dev/sda5   VG ubuntu-vg   lvm2 [7.76 GiB / 36.00 MiB free]
  PV /dev/sdb                   lvm2 [4.00 GiB]
  Total: 2 [11.76 GiB] / in use: 1 [7.76 GiB] / in no VG: 1 [4.00 GiB]

作ったPVをVGに追加します。
今回は、インストール時に作成された VG(ubuntu-vg) に PVを追加します。

# VG(ubuntu-vg) に PVを追加します
root@ubuntu:~# vgextend ubuntu-vg /dev/sdb
  Volume group "ubuntu-vg" successfully extended

# VG(ubuntu-vg) に PVが追加されたことを確認します。
root@ubuntu:~# pvscan
  PV /dev/sda5   VG ubuntu-vg   lvm2 [7.76 GiB / 36.00 MiB free]
  PV /dev/sdb    VG ubuntu-vg   lvm2 [4.00 GiB / 4.00 GiB free]
  Total: 2 [11.75 GiB] / in use: 2 [11.75 GiB] / in no VG: 0 [0   ]


さて、本日のメインイベント！
VG に追加された領域をつかって 領域を拡張してみます.

# 1G 増やしてみる
root@ubuntu:~# lvextend -L +1G /dev/ubuntu-vg/root
  Size of logical volume ubuntu-vg/root changed from 5.73 GiB (1466 extents) to 6.73 GiB (1722 extents).
  Logical volume root successfully resized

# 確認。
root@ubuntu:~# lvscan
  ACTIVE            '/dev/ubuntu-vg/root' [6.73 GiB] inherit
  ACTIVE            '/dev/ubuntu-vg/swap_1' [2.00 GiB] inherit

# DF で確認するもまだ増えていない。
root@ubuntu:~# df -H
Filesystem                   Size  Used Avail Use% Mounted on
udev                         1.1G     0  1.1G   0% /dev
tmpfs                        210M  4.8M  206M   3% /run
/dev/mapper/ubuntu--vg-root  6.0G  799M  4.8G  15% /
tmpfs                        1.1G     0  1.1G   0% /dev/shm
tmpfs                        5.3M     0  5.3M   0% /run/lock
tmpfs                        1.1G     0  1.1G   0% /sys/fs/cgroup
/dev/sda1                    247M   28M  207M  12% /boot
tmpfs                        210M     0  210M   0% /run/user/0

# ファイルシステムを拡張します
root@ubuntu:~# resize2fs /dev/ubuntu-vg/root
resize2fs 1.42.12 (29-Aug-2014)
Filesystem at /dev/ubuntu-vg/root is mounted on /; on-line resizing required
old_desc_blocks = 1, new_desc_blocks = 1
The filesystem on /dev/ubuntu-vg/root is now 1763328 (4k) blocks long.

# 再度確認。6.0G→7.0G への拡張が成功！
root@ubuntu:~# df -H
Filesystem                   Size  Used Avail Use% Mounted on
udev                         1.1G     0  1.1G   0% /dev
tmpfs                        210M  4.8M  206M   3% /run
/dev/mapper/ubuntu--vg-root  7.0G  800M  5.9G  13% /
tmpfs                        1.1G     0  1.1G   0% /dev/shm
tmpfs                        5.3M     0  5.3M   0% /run/lock
tmpfs                        1.1G     0  1.1G   0% /sys/fs/cgroup
/dev/sda1                    247M   28M  207M  12% /boot
tmpfs                        210M     0  210M   0% /run/user/0

こんな感じで領域を拡張して行けますね！